📗 ১. লগারিদম কী?
লগারিদম হলো কোন সংখ্যাকে একটি নির্দিষ্ট ভিত্তিতে (base) কতবার গুণ করলে মূল সংখ্যাটি পাওয়া যাবে, তার উত্তর। অর্থাৎ,
যদি
𝑏
𝑦
=
𝑥
b
y
=x হয়, তাহলে
log
𝑏
𝑥
=
𝑦
log
b
x=y
উদাহরণস্বরূপ:
3
4
=
81
⟹
log
3
81
=
4
3
4
=81⟹log
3
81=4
algebra.com
mathway.com
+6
en.wikipedia.org
+6
calculationcalculator.com
+6
⚙️ ২. লগারিদমের মৌলিক পরিচিতি (Basic Properties)
ലগারিদম হলো সূচকের (exponent) সমান্তরাল, অথবা অন্য কথায়, এটি সূচকের অভ্যন্তরীণ ব্যাপার বের করে দেয় ।
🧱 ৩. মৌলিক সূত্রাবলি
কতগুলো গুরুত্বপূর্ণ সূত্র আপনি যা জানতে পারেন:
Product Rule:
log
𝑏
(
𝑥
𝑦
)
=
log
𝑏
𝑥
+
log
𝑏
𝑦
log
b
(xy)=log
b
x+log
b
y
Quotient Rule:
log
𝑏
(
𝑥
𝑦
)
=
log
𝑏
𝑥
−
log
𝑏
𝑦
log
b
(
y
x
)=log
b
x−log
b
y
Power Rule:
log
𝑏
(
𝑥
𝑛
)
=
𝑛
⋅
log
𝑏
𝑥
log
b
(x
n
)=n⋅log
b
x
Root Rule:
log
𝑏
𝑥
𝑛
=
log
𝑏
𝑥
𝑛
log
b
n
x
=
n
log
b
x
Inverse (Identity) Rules:
log
𝑏
(
1
)
=
0
,
log
𝑏
𝑏
=
1
,
𝑏
log
𝑏
𝑥
=
𝑥
log
b
(1)=0,log
b
b=1,b
log
b
x
=x
en.wikipedia.org
+1
math.libretexts.org
+1
mathmonks.com
Change of Base Rule:
\log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b} \] (যেকোনো উপযোগী ভিত্তিতে পরিবর্তন করা যায়)
infinitemathworld.com
+15
en.wikipedia.org
+15
cuemath.com
+15
📚 ৪. উদাহরণস্বরূপ-log মূল্য নির্ণয়
(i)
log
3
81
log
3
81 কী?
81
=
3
4
81=3
4
→ তাই
log
3
81
=
4
log
3
81=4
infinitemathworld.com
+15
calculationcalculator.com
+15
algebra.com
+15
algebra.com
(ii)
log
3
81
log
3
81 কত?
log
3
81
=
log
3
1
/
2
3
4
=
4
1
/
2
=
8
log
3
81=log
3
1/2
3
4
=
1/2
4
=8
এখানে ভিত্তি হচ্ছে
3
=
3
1
/
2
3
=3
1/2
, আর 81 হচ্ছে
3
4
3
4
। তাই সূত্র অনুযায়ী ফলাফল
8
8।
(iii)
log
8
2
log
8
2 = ?
8
=
2
3
⟹
log
8
2
=
1
3
8=2
3
⟹log
8
2=
3
1
🧠 ৫. সংযোজিত সমস্যা ও সমাধান
(a)
2
(
log
2
3
+
log
2
5
)
2
(log
2
3+log
2
5)
ভিত্তি ন ্যা সূত্র প্রয়োগ করে:
\log_2 3 + \log_2 5 = \log_2 (3×5) = \log_2 15 \] → ফলে \[ 2^{\log_2 15} = 15
(b)
log
10
𝑥
=
3
log
10
x=3 হলে
𝑥
x কত?
10
3
=
𝑥
⟹
𝑥
=
1000
10
3
=x⟹x=1000
(c)
log
𝑥
4
=
2
log
x
4=2 হলে
𝑥
x কী?
𝑥
2
=
4
⟹
𝑥
=
2
x
2
=4⟹x=2
(নেগেটিভ
𝑥
x বাস্তব ভিত্তি হিসাবে গ্রহণযোগ্য নয়)
(d)
log
8
𝑥
=
3
1
3
log
8
x=3
3
1
ভিত্তি:
8
=
8
1
/
2
=
2
3
/
2
8
=8
1/2
=2
3/2
, আর
3
1
3
=
10
/
3
3
3
1
=10/3 হিসেবে প্রকাশ করুন।
তবে সরাসরি সূত্র প্রয়োগ করলে:
𝑥
=
(
8
)
10
/
3
=
(
8
1
/
2
)
10
/
3
=
8
5
/
3
=
2
(
3
×
5
/
3
)
=
2
5
=
32
x=(
8
)
10/3
=(8
1/2
)
10/3
=8
5/3
=2
(3×5/3)
=2
5
=32
(e)
2
log
10
5
+
log
10
36
−
log
10
9
2log
10
5+log
10
36−log
10
9
ভাগ ও যোগ সূত্র প্রয়োগে:
2
log
10
5
=
log
10
(
5
2
)
=
log
10
25
2log
10
5=log
10
(5
2
)=log
10
25
→ ফলে,
log
(
25
)
+
log
(
36
)
−
log
(
9
)
=
log
(
25
×
36
9
)
=
log
(
100
)
=
2
log(25)+log(36)−log(9)=log(
9
25×36
)=log(100)=2
(f)
log
2
6
+
log
2
2
3
log
2
6
+log
2
3
2
উভয় টার্মকে exponent হিসাবে পরিবর্তন করা যাক:
log
2
6
=
1
2
log
2
6
,
log
2
2
3
=
1
2
log
2
2
3
log
2
6
=
2
1
log
2
6,log
2
3
2
=
2
1
log
2
3
2
→ মোট:
1
2
[
log
2
6
+
log
2
2
3
]
=
1
2
log
2
(
6
×
2
3
)
=
1
2
log
2
4
=
1
2
×
2
=
1
2
1
[log
2
6+log
2
3
2
]=
2
1
log
2
(6×
3
2
)=
2
1
log
2
4=
2
1
×2=1
(g)
log
36
log
6
=
?
log6
log36
=?
ব্যবহার করুন ভিত্তি পরিবর্তন সূত্র:
log
36
log
6
=
log
6
36
=
log
6
(
6
2
)
=
2
log6
log36
=log
6
36=log
6
(6
2
)=2
(h)
log
2
log
2
log
2
16
log
2
log
2
log
2
16
ধাপে ধাপে:
log
2
16
=
4
,
log
2
4
=
2
,
log
2
2
=
1
log
2
16=4,log
2
4=2,log
2
2=1
→ ফলাফল:
1
1
(i)
log
𝑎
𝑏
×
log
𝑏
𝑐
×
log
𝑐
𝑑
=
?
log
a
b×log
b
c×log
c
d=?
চেন রুল প্রয়োগে:
log
𝑎
𝑏
×
log
𝑏
𝑐
=
log
𝑎
𝑐
,
তারপর
log
𝑎
𝑐
×
log
𝑐
𝑑
=
log
𝑎
𝑑
log
a
b×log
b
c=log
a
c,তারপরlog
a
c×log
c
d=log
a
d
→ উত্তর:
log
𝑎
𝑑
log
a
d
(j)
log
𝑎
𝑏
⋅
log
𝑏
𝑐
⋅
log
𝑐
𝑎
log
a
b⋅log
b
c⋅log
c
a
প্রতিটিতে ভিত্তি হচ্ছে
𝑎
=
𝑎
1
/
2
a
=a
1/2
, তাই আমরা সহজে পাই:
log
𝑎
𝑏
=
log
𝑎
𝑏
1
/
2
=
2
log
𝑎
𝑏
log
a
b=
1/2
log
a
b
=2log
a
b
তিনটি একত্রে:
2
log
𝑎
𝑏
×
2
log
𝑏
𝑐
×
2
log
𝑐
𝑎
=
8
(
log
𝑎
𝑏
×
log
𝑏
𝑐
×
log
𝑐
𝑎
)
2log
a
b×2log
b
c×2log
c
a=8(log
a
b×log
b
c×log
c
a)
এবং প্রতি চেইনটি সমান হয়ে যায় 1 (change of base চেইন):
→ তাই উত্তর যায়:
8
8
🎓 ৬. পরীক্ষাভিত্তিক প্রশ্ন-উদাহরণ (পূর্ববর্তী বছরের)
log
3
81
=
4
log
3
81=4 – প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ/BCS
log
10
1000
=
3
log
10
1000=3 – ব্যাংক বা পাবলিক সেবা
2
log
1
05
+
log
1
036
−
log
1
09
2log
1
05+log
1
036−log
1
09 – বিজ্ঞান ও প্রকৌশল প্রবেশিকা
💡 ৭. প্রয়োগ ও উপসংহার
লগারিদম গণিত ও বিজ্ঞানের একটি মৌলিক হাতিয়ার, যা সূচকীয় কর্মকাণ্ড, প্রকৌশল, পদার্থবিজ্ঞান, আইটি ও ব্যাংকিংয়ে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। উপরে উল্লেখিত সূত্র ও সমাধানগুলোর ভালো অনুশীলন ছাত্রছাত্রীদের প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখবে।
0コメント