অনুপাত ও সমানুপাত | Special BCS | P2A

অনুপাত ও সমানুপাত: একটি পূর্ণাঙ্গ ক্লাস

শ্রোতা ও শিক্ষার্থীদের জানাই আন্তরিক শুভেচ্ছা। আজ আমরা আলোচনা করব একটি গুরুত্বপূর্ণ গণিত বিষয় নিয়ে, যার নাম—অনুপাত ও সমানুপাত। এই বিষয়টি বিসিএসসহ যেকোনো নিয়োগ পরীক্ষায় বারবার এসেছে এবং আগামীতেও আসার প্রবল সম্ভাবনা রয়েছে।

ক্লাসটি শুরু করার আগে আমরা একটু চোখ বুলিয়ে নিই—বিগত বিসিএস পরীক্ষাগুলোতে এই টপিক থেকে কী ধরনের প্রশ্ন এসেছে।

বিগত প্রশ্ন বিশ্লেষণ

➤ ৪৫তম বিসিএস:

একটি প্রশ্ন এসেছিল—

“X ও Y এর অনুপাত যদি A হয় এবং Y ও Z এর অনুপাত যদি B হয়, তাহলে X:Y:Z এর মান কত?”

এই প্রশ্নটি একেবারেই অনুপাতের মৌলিক ধারণার ওপর ভিত্তি করে। এখানে তিনটি পদকে একত্রে নিয়ে কাজ করতে হয়।

একই বিসিএসে আরেকটি জ্যামিতিভিত্তিক প্রশ্নও আসে, যেখানে বলা হয়:

“একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত যদি দেওয়া থাকে, তাহলে বৃহত্তম কোণটির মান কত?”

এই প্রশ্নটি অনুপাতের সাথে জ্যামিতির সংযোগ ঘটায়। যদিও আমরা এটি এখন করব না, তবে এটি আমাদের জ্যামিতির ক্লাসে করব।

➤ ৪০তম বিসিএস:

“পনির ও তপনের আয়ের অনুপাত ৪:৫ এবং তপন ও রবিনের অনুপাত ৫:৬ হলে, পনিরের আয় ১২০ টাকা হলে রবিনের আয় কত?”

এটি অনুপাতের শৃঙ্খল বা Chain Rule-এর একটি সহজ অথচ গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ।

➤ ৩৯তম বিশেষ বিসিএস:

“দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৭ এবং তাদের লসাগু ১৪০ হলে, গসাগু কত?”

এই প্রশ্নটি অনুপাতের সঙ্গে লসাগু ও গসাগুর সম্পর্ক যুক্ত করে দেয়। আমরা আজ এই অংকটি করব না, তবে "লসাগু-গসাগু" ক্লাসে করব।

আরেকটি প্রশ্ন ছিল:

“দুইটি সংখ্যার অনুপাত ২:৩ এবং গসাগু ৪ হলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?”

এ ধরনের প্রশ্নগুলোতে অনুপাত ও গসাগুর মিলিত প্রয়োগ দেখা যায়।

➤ ৩৭তম বিসিএস:

“২৬১টি আম তিন ভাইয়ের মধ্যে ৩:৪:৫ অনুপাতে ভাগ করা হলে, প্রথম ভাই কতটি আম পাবে?”

একেবারে ক্লাসিক অনুপাত নির্ভর প্রশ্ন।

➤ ৩৫তম বিসিএস:

“৬০ লিটার ফলের রসে আম ও কমলার অনুপাত যদি ৩:২ হয়, তবে কত লিটার কমলার রস মিশালে অনুপাত ১:২ হবে?”

এটি একটি পরিবর্তিত অনুপাত বা ratio adjustment টাইপ প্রশ্ন।

অনুপাত: সংজ্ঞা ও ব্যাখ্যা

📌 অনুপাত কী?

বাংলায় অনুপাত শব্দের মানে হচ্ছে তুলনা। গণিতে, দুটি সমজাতীয় রাশির তুলনামূলক মান প্রকাশ করাকেই অনুপাত বলা হয়।

📖 সংজ্ঞা:

"দুইটি একজাতীয় রাশির একটি অপরটির সাথে তুলনামূলক পরিমাণ প্রকাশ করাকে অনুপাত বলে।"

উদাহরণস্বরূপ, যদি কারো উচ্চতা ৬ ফুট এবং অপরজনের ৩ ফুট হয়, তাহলে তাদের উচ্চতার অনুপাত ৬:৩ বা ২:১।

⚠️ ভগ্নাংশ ও অনুপাতের পার্থক্য:

অনেকেই ভগ্নাংশ ও অনুপাতকে গুলিয়ে ফেলেন। মনে রাখতে হবে—

ভগ্নাংশ সাধারণত একটি রাশির ভাগ বোঝায়।

অনুপাত বোঝায় দুটি রাশির তুলনা।

যেমন, ½ মানে "একটির অর্ধেক", কিন্তু ১:২ মানে "একটি আরেকটির অর্ধেক"।

বাস্তব উদাহরণে অনুপাত বুঝি

ধরুন, ফাহমিদা ও নিগার দুই বোন।

ফাহমিদার ওজন: ৭০ কেজি

নিগারের ওজন: ৩৫ কেজি

তাহলে, তাদের ওজনের অনুপাত:

৭০:৩৫ = ২:১

মানে, ফাহমিদা নিগারের চেয়ে দ্বিগুণ ভারী। অনুপাতের মাধ্যমে আমরা এই তুলনাটি সুস্পষ্টভাবে প্রকাশ করতে পারি।

অনুপাতের ব্যবহার কোথায় কোথায়?

✅ সম্পদ ভাগাভাগি

✅ আয় ও ব্যয়ের তুলনা

✅ মিশ্রণ প্রস্তুতকরণ

✅ বাণিজ্যিক হিসাব

✅ জ্যামিতিক সমস্যার সমাধান

অনুপাত শুধু পরীক্ষার জন্য নয়—ব্যবহারিক জীবনেও অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

সমানুপাত (Proportion) কী?

সমানুপাত হল চারটি সংখ্যার মধ্যে একটি সম্পর্ক, যেখানে প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার অনুপাত, তৃতীয় ও চতুর্থ সংখ্যার অনুপাতের সমান হয়।

📖 সংজ্ঞা:

“a:b = c:d” হলে বলা হয়, a, b, c ও d সমানুপাতিক।

একেই Proportion Equation বলা হয়। একে ভগ্নাংশ আকারেও লেখা যায়:

a/b = c/d

কিছু গুরুত্বপূর্ণ সূত্র ও কৌশল

যদি A:B = m:n এবং B:C = p:q হয়, তাহলে A:B:C = m×p : n×p : n×q

A:B = B:C হলে, B² = A×C

অনুপাতের ব্যবহার করে ভাগাভাগি করতে চাইলে:

মোট পরিমাণ × (নিজের অনুপাতের সংখ্যা / মোট অনুপাত)

অনুশীলন প্রশ্ন (Homework Type)

দুই বন্ধুর আয়ের অনুপাত ৫:৭। বড়জনের আয় ২৮০ টাকা হলে, ছোটজনের আয় কত?

তিনটি সংখ্যা অনুপাত ২:৩:৫। তাদের যোগফল ২০০ হলে, সংখ্যা তিনটি কত?

দুটি সংখ্যা ৬:১১ অনুপাতে রয়েছে। তাদের গসাগু ৫ হলে, বৃহত্তম সংখ্যা কত?

একটি রসে আপেল ও কমলার রসের অনুপাত ৪:১। ৩০ লিটার মিশ্রণে কমলার রস কত লিটার?

উপসংহার

আজকের ক্লাসে আমরা অনুপাত ও সমানুপাতের মূল ধারণা, প্রয়োগ, বিগত প্রশ্ন বিশ্লেষণ এবং বাস্তব উদাহরণ সব কিছু আলোচনা করেছি। এই বিষয়টি শুধু গণিতে নয়—ব্যাংক, বিসিএস, শিক্ষক নিবন্ধন, পুলিশ নিয়োগ, সেনাবাহিনী, বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি সব পরীক্ষাতেই আসে।

তাই এই অধ্যায়কে দুর্বল রাখা যাবে না। আপনাদের জন্য পরবর্তী ক্লাসে আমরা করব—জ্যামিতিতে অনুপাত, অনুপাত থেকে লসাগু-গসাগু নির্ণয় এবং চেইন রুল ভিত্তিক প্রশ্ন সমাধান।